BitCell

Acesta : f, g, h. f^(-1) = g compus cu h. g^(-1) = f compus cu h, h^(-1) = f compus cu g.

practic as vrea sa stiu daca se pot forma 3 functii, iar inversa fiecareia sa fie = cu celelalte doua compuse.

exemplu aprox : f(x) = sin (x); f^(-1)(x) = arcsin(x); g compus cu h = arcsin (x) == g(h(x))=arcsin(x);
g = ... ? h = ... ?

Offtopic

Te-aș ruga să folosești latex bbcodes pentru lizibilitate.

smith wrote:Offtopic

Te-aș ruga să folosești latex bbcodes pentru lizibilitate.

no offence, dar i'm in a hurry right now si nu stiu sintaxa latex. cand am timp, editez.

Fie






Sper să fie bine

LE: cred că orice combinație de funcții funcționează.
Adică:

sau:

etc...

Asa cum ai definit functiile, acestea trebuie sa fie in primul rand bijective (altfel nu putem vorbi de inversa lor).
O alta restrictie ce trebuie indeplinita se refera la domeniul si codomeniul functiilor. Fie h: A -> B, din prima conditie (g compus cu h), reiese ca g trebuie sa aiba domeniul B, deci de forma g: B -> C (altfel nu se pot compune cele doua functii). Din a doua conditie obtinem f: B -> C, din a treia reiese ca f: C -> ... , deci B si C coincid. revenim la prima conditie, prin definitie (g compus cu h): A -> C. Daca acesta este f-1 (pentru f am obtinut, f: C -> C), atunci si C coincide cu A.
O a treia (si cea mai importanta) restrictie se obtine daca compunem mai departe prima relatie la stanga cu g-1 si la dreapta cu f => h compus cu f = g-1, care impreuna cu a doua conditie ne da h compus cu f = f compus cu h, la fel pentru restul compunerilor.


In concluzie trebuie sa gasim trei functii bijective care se definesc pe aceeasi multime (f, g, h: A -> A) si a caror compunere este comutativa. Stim ca in general compunerea functiilor nu este comutativa, nu stiu daca exista vreun criteriu general de a gasi functii a caror compunere este comutativa, dar voi incerca sa dau cateva exemple.

In primul rand, desi compunerea functiilor in general nu este comutativa, compunerea unei functii bijective cu inversa sa este intotdeauna comutativa, respectiv compunerea unei functii cu elementul neutru (functia identica, f(x) = x). Acesta este exemplul dat de Smith.
Alte exemple ar fi functii de forma ax, x + a, xa. Cazuri concrete: f(x) = 2x, g(x) = 3x, h(x) = x/6 (se calculeaza din ultima relatie). Sau f(x) = x + 2, g(x) = x + 3, h(x) = x - 5. Sau f(x) = x2, g(x) = x3, h(x) = x1 / 6 (radical de ordin 6 din x).

O mica observatie: in primele doua cazuri, functiile sunt definite pe multimea numerelor reale, iar in ultimul caz, cat si in exemplele lui Smith, pe multimea numerelor reale pozitive (R+).

Sper ca te-am ajutat.

Offtopic

Zoooollltaaaaaan Long time no see!